Funciones racional e inversas

Una función es racional si es el cociente de dos polinomios:

siendo el grado del polinomio   Q(x)   distinto de 0.

Las características generales de las funciones racionales son:

1) El dominio de las funciones racionales son los números reales menos las raíces del denominador,        es decir:

     dominio funcion racional

2) Son discontinuas en los valores de   x   que son raíces del denominador.

3) Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador, y pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.

Por ejemplo en una función f (x ) = 1 / x – 2, el dominio es toda x excepto x =2.

Cuando se hace la gráfica de una función racional es importante saber:

Qué se puede decir de los valores de la función cuando x se acerca a un cero del denominador?

Qué se puede decir de los valores de la función cuando x es grande y positiva o negativa?

Asíntota vertical

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función si f (x) –> ∞ o f (x) –> -∞ cuando x tiende a a.

Asíntota horizontal

La recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función si f (x) –> c cuando x –> ∞ o cuando x  –> -∞

Ejemplo: f (x) = 3 / (x – 4) 

 

La más simple de las funciones racionales es:

                                                              

     

  Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera.

       

Función Inversa

Su gráfica es una hipérbola.

Las características generales de las funciones de proporcionalidad inversa son:

1) El dominio de la función de proporcionalidad inversa es   R - {0}

2) La función es discontinua en   x = 0 .

3) En   x = 0    existe una asíntota vertical.

4) A medida que los valores de   x   crecen o decrecen, la función se acerca al eje Y, por lo tanto tiene una asíntota horizontal en   y = 0 .

5) La gráfica de este tipo de funciones no corta a los ejes de coordenadas.

6) La función es impar y por tanto simétrica al origen de coordenadas.

7) Para   k > 0   la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante.

    Para   k < 0   la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante.

Representación gráfica de funciones de proporcionalidad inversa:

1) Puntos de corte con los ejes:

Para   x = 0   la función   f(x)   no está definida puesto que    f(0) = 3/0 (no real).

Para   x = 0   la función   g(x)   no está definida puesto que    g(0) = - 3/0 (no real).

2) Simetrías:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   son impares, es decir, son simétricas respecto al eje de coordenadas.

      

      

3) Crecimiento o decrecimiento:

Para la función   f(x)   tenemos que   k > 0 ,  por lo tanto la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. Es decir, la función es decreciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).

Para la función   g(x)   tenemos que   k < 0 ,  por lo tanto la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. Es decir, la función es creciente en   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).

4) Tabla de valores:

Construimos una tabla de valores.